Question

已知正項數(shù)列的首項，前項和滿足．
（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

 (Ⅰ)；(Ⅱ)．

試題分析：（Ⅰ）求證為等差數(shù)列，只需證等于常數(shù)，由，而，代入整理可得為等差數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值，而的前項和為可用拆項相消法求得的最大值，從而解一元二次不等式得實數(shù)的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）證明：當時，，又，，因為，，， 即，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．
由此可得，由，當時，也適合，所以 ；
（Ⅱ）因為，
所以， ， ，對任意的，不等式恒成立，，解得，
所以對任意的，不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍．與的關(guān)系，3、求數(shù)列的通項公式，4、數(shù)列求和，5、解一元二次不等式．