Question

隨機(jī)將1，2，…，2n（n∈N^*，n≥2）這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A、B兩組，每組n個(gè)數(shù)，A組最小數(shù)為a₁，最大數(shù)為a₂；B組最小數(shù)為b₁，最大數(shù)為b₂；記ξ=a₂-a₁，η=b₂-b₁．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P（C）；
（3）對(duì)（2）中的事件C，

.

C

表示C的對(duì)立事件，判斷P（C）和P（

.

C

）的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）當(dāng)n=3時(shí)，ξ的取值可能為2，3，4，5，求出隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式可得其數(shù)學(xué)期望Eξ．
（2）根據(jù)C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，利用分類加法原理，可得事件C發(fā)生的概率P（C）的表達(dá)式；
（3）判斷P（C）和P（

.

C

）的大小關(guān)系，即判斷P（C）和

1

2

的大小關(guān)系，根據(jù)（2）的公式，可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，ξ的取值可能為2，3，4，5
其中P（ξ=2）=

4

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=3）=

6

C 3 6

=

3

10

，
P（ξ=4）=

6

C 3 6

=

3

10

，
P（ξ=5）=

4

C 3 6

=

1

5

，
故隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	1 5	3 10	3 10	1 5

ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=2×

1

5

+3×

3

10

+4×

3

10

+5×

1

5

=

7

2

；
（2）∵C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，
∴P（C）=2×

1+1+ C 1 2 + C 2 4 + C 3 6 +…+ C n-2 2(n-2)

C n 2n

（3）當(dāng)n=2時(shí)，P（C）=2×

1+1

C 2 4

=

2

3

＞

1

2

，此時(shí)P（

.

C

）＜

1

2

；
即P（

.

C

）＜P（C）；
當(dāng)n≥3時(shí)，P（C）=2×

1+1+ C 1 2 + C 2 4 + C 3 6 +…+ C n-2 2(n-2)

C n 2n

＜

1

2

，此時(shí)P（

.

C

）＞

1

2

；
即P（

.

C

）＞P（C）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．