Question

【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1= （n∈N*）．
（1）計(jì)算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項(xiàng)公式an；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：a2= ，a3= = ，a4= = ．

猜想：an= ．

（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1= ，結(jié)論成立，

假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即ak= ，

則ak+1= = = = = ．

即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．

∴對(duì)一切n∈N，都有an=

【解析】（1）根據(jù)遞推式計(jì)算，猜想；（2）檢驗(yàn)n=1時(shí)猜想成立，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．