Question

【題目】如果存在常數(shù)k使得無窮數(shù)列滿足恒成立，則稱為數(shù)列.

（1）若數(shù)列是數(shù)列，，，求；

（2）若等差數(shù)列是數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）是否存在數(shù)列，使得，，，…是等比數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的數(shù)列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）存在；滿足條件的數(shù)列有無窮多個(gè)，其通項(xiàng)公式為.

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的定義，得，，可求；

（2）根據(jù)數(shù)列的定義，得，分和兩種情況討論. 當(dāng)，.當(dāng)時(shí)，由是等差數(shù)列，對賦值，求出和公差，即求；

（3）假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列，，，…的公比為q.則有，，可得q＝1，故當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，且i為奇數(shù)，

由，可得.

即滿足條件的數(shù)列有無窮多個(gè)，其通項(xiàng)公式為.

（1）由數(shù)列是數(shù)列，得，，可得；

（2）由是數(shù)列知恒成立，取m＝1得恒成立，

當(dāng)，時(shí)滿足題意，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，由可得，取m＝n＝2得，

設(shè)公差為d，則解得或者，

綜上，或或，經(jīng)檢驗(yàn)均合題意.

（3）假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列，

不妨設(shè)該等比數(shù)列，，，…的公比為q，

則有，

可得①

，

可得②

綜上①②可得q＝1，

故，代入得，

則當(dāng)時(shí)，，

又，

當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，且i為奇數(shù)，

由，

而，，，.

綜上，滿足條件的數(shù)列有無窮多個(gè)，其通項(xiàng)公式為.