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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B為直二面角．
          （1）求直線AD1與直線DC所成角的余弦值；
          （2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大�。�
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）以點B為坐標原點，平面ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系．則B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
          在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，則H即為D1在平面ABC上的射影．
          ∵AB=4，AD=3，∴AC=5，DH=
          12
          5
          ，HN=
          27
          25
          ，HM=
          64
          25
          ，D1(
          27
          25
          ，
          64
          25
          ，
          12
          5
          )          ，…（6分）
          ∴
          AD1
          =(
          27
          25
          ，
          64
          25
          ，
          12
          5
          )-(0，4，0)=(
          27
          25
          ，
          -36
          25
          ，
          12
          5
          )          ，
          DC
          =(3，0，0)-(3，4，0)=(0，-4，0)          ，
          所以cos＜
          AD1
          ，
          DC
          ＞=
          AD1
          •
          DC
          |
          AD1
          ||
          DC
          |
          =
          12
          25
          ．…（10分）
          （2）設平面D1BC的法向量為
          n
          =(a，b，c)          ，
          BC
          =(3，0，0)，
          BA
          =(0，4，0)          ，
          ∵
          n
          •
          BC
          =0          ，
          n
          •
          D1B
          =0          ，∴
          a=0
          27a+64b+60c=0
          ∴
          n
          =(0，-15，16)          ．
          設平面D1BA的法向量為
          m
          =(x，y，z)          ，
          ∵
          m
          •
          BA
          =0          ，
          m
          •
          D1B
          =0          ，
          ∴
          y=0
          27x+64y+60z=0
          ，∴
          m
          =(-20，0，-9)          ．…（14分）
          ∴cos＜
          m
          ，
          n
          ＞=
          m
          •
          n
          |
          m
          |•|
          n
          |
          =-
          144
          481
          ，
          ∴sinθ=
          		1-(
          144
          481
          )          2
          =
          25
          		337
          481
          ．…（16分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          于直線m、n與平面α、β,有下列四個命題: 
          ①若m∥α,n∥β且α∥β,則m∥n;
          ②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,則m⊥n;
          ③若m⊥α,n∥β且α∥β,則m⊥n;
          ④若m∥α, n⊥β且α⊥β,則m∥n.
          其中真命題的序號是(　　)
          A．①②B．③④C．①④D．②③
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖02，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AA1、BB1、BC上的點，PQ∥AB，C1Q⊥PR，求證：∠D1QR=90°．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
          （1）求證：AC⊥BC1；
          （2）在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E在棱CD上．
          （1）求證：EB1⊥AD1；
          （2）若E是CD中點，求EB1與平面AD1E所成的角；
          （3）設M在BB1上，且
          BM
          MB1
          =
          2
          3
          ，是否存在點E，使平面AD1E⊥平面AME，若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
          		13
          ，PB=
          		29
          ，求PC與AB所成角的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=
          		2
          ，E、F分別是AB、CD的中點
          （1）求證：D1E⊥平面AB1F；
          （2）求直線AB與平面AB1F所成的角；
          （3）求二面角A-B1F-B的大�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
          1
          2
          AB=1，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點．
          （Ⅰ）求證：CM⊥SN；
          （Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
          （Ⅲ）求直線SN與平面CMN所成角的大�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
          （1）求證：面EFG⊥面PAB；
          （2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；
          （3）求點A到面EFG的距離．
          

			
          

			
          
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