Question

【題目】已知橢圓，離心率為，直線恒過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的頂點(diǎn)均在上，交于，且，若直線的傾斜角的余弦值為，求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將轉(zhuǎn)化成直線點(diǎn)斜式方程形式，求出所過(guò)的恒點(diǎn)，進(jìn)而知道橢圓的焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.

（2）根據(jù)向量等式，可以確定分別是的中點(diǎn).設(shè)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，求出的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，最后求出直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，可化為，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)，可得.因?yàn)殡x心率為，所以，解得，由得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)?/span>，所以.由得分別是的中點(diǎn).設(shè).由直線的傾斜角的余弦值為，得直線的斜率為2，所以，聯(lián)立消去，得.顯然，，且， ，所以，可得，同理可得，所以，所以.令，得，所以直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為.