Question

【題目】如圖，在長方體中，，，點，，分別是線段，，的中點.

（1）求證：平面；

（2）在線段上有一點，若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）以長方體的頂點D為原點，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量和垂直可證得結(jié)果；

（2）求出平面的法向量，平面的法向量，由二面角的余弦值為，求出，，利用向量法能求出點到平面的距離.

解：（1）證明：如圖，以長方體的頂點為原點，建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，分別是，，的中點，

則，，，

平面的一個法向量，

，0，，，

平面，平面.

（2）解：設(shè)點，其中，，

則，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

平面的一個法向量為，

由二面角的余弦值為，可得，

，化簡得，

解得或，

，，，，，，

點到平面的距離.