Question

如圖，已知橢圓，直線的方程為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于異于左頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線，交直線分別于點(diǎn)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求此時(shí)直線的方程；
（2）試問，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2），兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.

試題分析：（1）討論①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，確定得到，又
 不滿足；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為
代入橢圓得；
應(yīng)用韋達(dá)定理研究，解得 求得直線的方程；
（2）的方程為與的方程：聯(lián)立
確定 同理得，
從而.
討論不存在、存在的兩種情況，得出結(jié)論.
（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由可知方程為
代入橢圓得又
 不滿足              2分
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為
代入橢圓得          3分
設(shè)得          4分


 故直線的方程；                   6分
（2）的方程為與的方程：聯(lián)立
得： 同理得                   8分

①不存在時(shí)，                  9分
②存在時(shí)，               12分
，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值                           13分