Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A,B，過(guò)與垂直的直線與橢圓交于，，與交于，求證：直線，，的斜率，，成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）由題意知，得圓與直線相切，利用圓心到直線的距離d=r求b,再求a,c,則方程可求；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為與橢圓聯(lián)立消y,得韋達(dá)定理，再設(shè) 直線的方程為，得P坐標(biāo)，將坐標(biāo)化代入韋達(dá)定理，整理即可證明

（1）由題意知，所以，即，

又因?yàn)橐栽�點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓，

與直線相切，所以圓心到直線的距離d，所以，，

故橢圓的方程為．

（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，則直線的方程為．

由得．

設(shè)點(diǎn)，，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，

由題意知直線的斜率為，則直線的方程為

令，得點(diǎn)的坐標(biāo)

即，所以成等差數(shù)列；