Question

【題目】已知離心率為2的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)分別為的左右頂點，為異于一點，直線與分別交軸于兩點，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過兩個定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率求得的關(guān)系式，利用焦點到漸近線的距離列方程，解方程求得的值，進而求得雙曲線方程.（2）設(shè)出點的坐標，根據(jù)點斜式求得和的方程，進而求得兩點的坐標，根據(jù)中點坐標和直徑長求得圓的方程.令求得兩個定點的坐標.

（1）設(shè)：，

因為離心率為2，所以，．

所以的漸近線為，

由，得．

于是，，

故的方程為．

（2）設(shè)（），

因為，，

可得直線與方程為，．

由題設(shè)，所以，，，中點坐標，

于是圓的方程為．

因為，所以圓的方程可化為．

當時，，因此經(jīng)過兩個定點和．