Question

如圖，已知平面，四邊形是矩形，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求三棱錐的體積；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求證：∥平面．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033221301393.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以為三棱錐的高。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033221317526.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，所以可求底面的面積，根據(jù)錐體體積公式可求此三棱錐的體積。（Ⅱ）根據(jù)平面，四邊形是矩形，可證得平面，從而可得，再根據(jù)等腰三角形中線即為高線可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面。（Ⅲ）連結(jié)交于，可證得為中點(diǎn)，由中位線可證得∥，再由線面平行的判定定理可證得∥平面。
試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033221301393.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以為三棱錐的高．                       2分
，
所以．                        4分
（Ⅱ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033221301393.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033222206527.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以平面
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033222269435.png" style="vertical-align:middle;" />平面， 所以．                         6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033222331493.png" style="vertical-align:middle;" />，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033222393603.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面．                                    8分
（Ⅲ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，．

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033221317526.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，所以，且，
又，分別為，的中點(diǎn)， 所以四邊形是平行四邊形，
所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033221426302.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，
所以∥，                                        13分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033222846543.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以∥平面.                                   14分