Question

【題目】集合A是由滿(mǎn)足以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的：對(duì)于任意x≥0，f（x） ∈[-2，4]且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù).

（Ⅰ）試判斷與（x≥0）是否屬于集合A，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)f（x），證明：對(duì)于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f（x+1）.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（I）由已知可得函數(shù)的值域，從而可得，對(duì)于，只要分別判斷函數(shù)定義域是否滿(mǎn)足條件①，值域是否滿(mǎn)足條件②，單調(diào)性是否滿(mǎn)足條件③，即可得答案；（II）由（I）知， 屬于集合，原不等式為，利用作差法指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)整理可以證明結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ） ， ，理由如下：

由于（49）=5>4， （49） [-2，4]，所以（x）A.

對(duì)于

因?yàn)?/span>在[0，+∞）上是減函數(shù)，且其值域?yàn)椋?/span>0，1]，

所以在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù).

所以≥f（0）=-2，且=<4，

所以對(duì)于任意x≥0，f（x）∈[-2，4].

所以∈A

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ，

f（x+1）=4-=4-3·，

所以2f（x+1）-[f（x）+f（x+2）]=2[4-3·]-[4-6·+4-·]=·>0，

所以對(duì)于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f（x+1）.