Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，經(jīng)過點過點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且與橢圓C的左準線交于點N．

求橢圓C的標準方程；

當時，求直線l的方程；

設(shè)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）9

【解析】

由橢圓的離心率為和經(jīng)過點，列出方程組，求出a,b,c可得橢圓的標準方程．設(shè)直線l方程為，，，橢圓的左準線方程為,得到點M和N的坐標，求出，將直線與橢圓聯(lián)立利用根的判別式、韋達定理、弦長公式得到AB，結(jié)合已知條件求直線l方程．設(shè)直線l方程為，存在，求出點到直線l的距離和弦長，計算的面積利用導數(shù)可求得最大值.

橢圓C：的離心率為，經(jīng)過點．

由題意得，解得，，，

橢圓C的標準方程為．

設(shè)直線l的方程為，存在，，，

橢圓的左準線方程為，，

又，，

由，得，

，，

，

，，

解得，直線l的方程為．

設(shè)直線l的方程為，存在，

則到直線l的距離，

由知，

的面積，令，，則，

，，

當時，S單調(diào)遞減，當時，S取得最大值，且最大值為9，

面積的最大值為9．