Question

已知橢圓C：

x2

4

+y²=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F的值線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，過F₂且平行于l的直線l₁交橢圓C與M、N兩點(diǎn)．
（1）求△ABF₂的周長(zhǎng)；
（2）求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可得△ABF₂的周長(zhǎng)；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，求出點(diǎn)M到直線l的距離即為兩條平行線間的距離，|AB|，計(jì)算三角形的面積，利用基本不等式求最值；當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，|AB|=1，d=2

3

，此時(shí)S△ABM=

3

＜2，由此可得△ABM面積的最大值．

解答：解：（1）由橢圓的定義可得△ABF₂的周長(zhǎng)=|AB|+AF₂|+|BF₂|=4a=8；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，l：y=tanθ（x+

3

），l₁：y=tanθ（x-

3

）
點(diǎn)M到直線l的距離即為兩條平行線間的距離：d=2

3

sinθ
∵|AB|=

2× b2 a2

1-e2cos2θ

=

1

1- 3 4 cos2θ

∴S_△ABM=

1

2

×

1

1- 3 4 cos2θ

×2

3

sinθ=

4 3

1 sinθ +sinθ

≤

4 3

2 3

=2
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=

3

3

時(shí)，取等號(hào)
當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，|AB|=1，d=2

3

，此時(shí)S△ABM=

3

＜2
∴△ABM面積的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．