Question

【題目】極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為ρ2= ，以極點為原點，極軸為x軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系取相同的單位長度．
（1）若橢圓上任一點坐標(biāo)為P（x，y），求 的取值范圍；
（2）若橢圓的兩條弦AB，CD交于點Q，且直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ)，求證：|QA||QB|=|QC||QD|．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C的方程為ρ2= ，

∴橢圓C的直角坐標(biāo)方程為 ，

設(shè) ，

則

= ．

∴ 的取值范圍是[1﹣ ]

（2）證明：設(shè)直線AB的傾斜角為α，直線CD的傾斜角為π﹣α，Q（x0，y0），

則直線AB的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），

代入x2+2y2=2，得：（x0+tcosα）2+2（y0+tsinα）2﹣2=0，

即（cos2α+2sin2α）t2+（2x0cosα+4y0sinα）t+（ ﹣2）=0，

設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，

則|QA||QB|=|t1t2|=| |，

同理，|QC||QB|=| |=| |，

∴|QA||QB|=|QC||QD|

【解析】（1）由橢圓C的極坐標(biāo)方程能橢圓C的直角坐標(biāo)方程，設(shè) ，由三角函數(shù)性質(zhì)能求出 的取值范圍．（2）設(shè)直線AB的傾斜角為α，直線CD的傾斜角為π﹣α，Q（x0 ， y0），直線AB的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），代入x2+2y2=2，得：（x0+tcosα）2+2（y0+tsinα）2﹣2=0，推導(dǎo)出|QA||QB|=|t1t2|=| |，同理，|QC||QB|=| |=| |，由此能證明|QA||QB|=|QC||QD|．