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          如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側(cè)棱PC上的兩個三等分點．
          ①求證：AN∥平面MBD；
          ②求二面角M-BD-C的余弦值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          ①證明：連接對角線AC交BD于點O，
          ∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．
          又∵NM=MC=
          1
          3
          PC          ，∴OM∥AN．
          又∵AN?平面MBD，OM?平面MBD．
          ∴AN∥平面MBD；
          ②距離如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．
          由M點為線段PC的三等分點，∴M（4，2，1）．
          ∴
          DB
          =(-6，3，0)          ，
          DM
          =(-2，2，1)          ．
          設(shè)平面BMD的法向量
          n
          =(x，y，z)          ．
          則
          n
          •
          DB
          =0
          n
          •
          DM
          =0
          即
          -6x+3y=0
          -2x+2y+z=0
          ，令y=2，則x=1，z=
          5
          2
          ．
          ∴
          n
          =(1，2，
          5
          2
          )          ．
          ∵PA⊥平面BCD，∴可取
          AP
          =（0，0，3）作為平面BCD的法向量．
          ∴cos＜
          n
          ，
          AP
          ＞          =
          n
          •
          AP
          |
          n
          ||
          AP
          |
          =
          3×
          5
          2
          		12+22+(
          5
          2
          )2
          		32
          =
          		5
          3
          ．
          ∴二面角M-BD-C的余弦值為
          		5
          3
          ．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          已知△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，AB=8，點P是平面ABC外一點，若PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，O為垂足，則OC=______．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          若一個球的半徑為1，A、B為球面上兩點，且|AB|=1，則A、B兩點的球面距離為______．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          在直三棱柱ADE-BCF中，∠ADE=90°，AD=AE=EF=2，M，N分別是AF，BC的中點．
          （1）求證：MN∥平面CDEF；
          （2）求多面體A-CDEF的體積V．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1=
          		2
          ，M是線段B1D1的中點．
          （1）求證：BM∥平面D1AC；
          （2）求三棱錐D1-AB1C的體積．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，點M、N分別為側(cè)棱PD、PC的中點
          （1）求證：CD∥平面AMN；
          （2）求證：AM⊥平面PCD．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F(xiàn)為CE的中點，求證：
          （1）AE∥平面BDF；
          （2）平面BDF⊥平面ACE．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          已知a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題
          ①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；
          ③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，
          其中不正確的有（　�。�
          A．1個B．2個C．3個D．4個
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點．
          （Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
          （Ⅱ）求證：B1F⊥平面AEF；
          （Ⅲ）求二面角A-EB1-F的大�。�
          

			
          

			
          
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