Question

【題目】稱正整數(shù)集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質(zhì) P：如果對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n），與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.

（1）分別判斷集合{1，3，6}與{1，3，4，12}是否具有性質(zhì) P；

（2）設(shè)正整數(shù)集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質(zhì) P.證明：對(duì)任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因數(shù)；

（3）求an=30時(shí)n的最大值.

Answer 1

【答案】（1）{1，3，6}不具有，{1，3，4，12}具有；（2）證明見解析；（3）8

【解析】

(1)根據(jù)性質(zhì)P；對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，驗(yàn)證兩集合集{1，3，6}與{1，3，4，12}中的任何兩個(gè)元素的積、商是否為該集合中的元素；(2)運(yùn)用反證法，結(jié)合A具有性質(zhì)P，即可得證;(3)運(yùn)用30的質(zhì)因數(shù)分解，結(jié)合組合的知識(shí)，即可得到n的最大值.

（1）由于3×6與均不屬于數(shù)集{1，3，6}，∴數(shù)集{1，3，6} 不具有性質(zhì)P；

由于1×3，1×4，1×12，3×4，，都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，

∴數(shù)集{1，3，4，12} 具有性質(zhì)P.

（2）證明：設(shè)正整數(shù)集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質(zhì) P，

即有對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n），與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.

運(yùn)用反證法證明.假設(shè)存在一個(gè)數(shù)ai不是an的因數(shù)，

即有aian與或，都不屬于A，這與條件A具有性質(zhì)P矛盾.

故假設(shè)不成立.

則對(duì)任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因數(shù)；

（3）由（2）可知，均為的因數(shù)，

由于30=2×3×5，由組合的知識(shí)可知2，3，5都有選與不選2種可能.

共有2×2×2=8種，即n的最大值為8.