Question

【題目】某電子設(shè)備工廠生產(chǎn)一種電子元件，質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前將次品檢出.估計這個廠生產(chǎn)的電子元件的次品率為0.2%，且電子元件是否為次品相互獨立，一般的檢測流程是：先把個電子元件串聯(lián)起來成組進行檢驗，若檢測通過，則全部為正品；若檢測不通過，則至少有一個次品，再逐一檢測，直到把所有的次品找出，若檢驗一個電子元件的花費為5分錢，檢驗一組（個）電子元件的花費為分錢.

（1）當(dāng)時，估算一組待檢元件中有次品的概率；

（2）設(shè)每個電子元件檢測費用的期望為，求的表達式；

（3）試估計的值，使每個電子元件的檢測費用的期望最小.（提示：用進行估算）

Answer 1

【答案】（1）0.008；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出一組（4件）中無次品，即4件產(chǎn)品均正品得概率，再由可解.

（2）列出每組（個）電子元件的檢測費用的所有可能取值為，，列出的分布列，利用期望性質(zhì)求出每個電子元件期望.

（3）利用，得到，用基本不等式求解最值.

（1）設(shè)事件：一組（4件）中有次品，則事件：一組（4件）中無次品，即4件產(chǎn)品均正品，

又4件產(chǎn)品是否為次品相互獨立，則，

所以.

（2）方法一：設(shè)每組（個）電子元件的檢測費用為，則的所有可能取值為，，

，，

則的分布列為

所以，

則有.

方法二：設(shè)每個電子元件的檢測費用為，則的取值為，，，，

則的分布列為

所以

（3），

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時為，

所以，估計當(dāng)時，每個電子元件平均檢測費用最低，約為1.4分錢.