Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求，的值；

（2）若，，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2).

【解析】分析：的圖象在處的切線方程為，得出（1，）坐標(biāo)帶入中，及=，即可解出，的值

（2）構(gòu)造函數(shù)，在上的最大值為，問題等價于：，不等式恒成立，構(gòu)造 >進(jìn)行解決問題

詳解：，

（1），，

由，

得.

令，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以.

（2）令，因為當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

于是函數(shù)在上一定單調(diào)遞增.

所以在上的最大值為.

于是問題等價于：，不等式恒成立.

記 ，

則.

當(dāng)時，因為，，所以，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，，不合題意.

故必有.

若，由可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在此區(qū)間上，有，與恒成立矛盾.

故，這時，在上單調(diào)遞增，

恒有，滿足題設(shè)要求.

所以，即.

所以的取值范圍為.

點晴：本題主要考察導(dǎo)數(shù)綜合題：能成立恒成立問題，這類型題目主要就是最值問題，學(xué)會對問題的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，本題主要在做題的過程中構(gòu)造函數(shù)后發(fā)現(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵。