Question

在數(shù)列{}中， ="13" ，且前項的算術(shù)平均數(shù)等于第項的2-1倍（∈N*）．
（1）寫出此數(shù)列的前5項；
（2）歸納猜想{}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

（1），，， ，
（2）    見解析

（1）利用數(shù)列{}前項的算術(shù)平均數(shù)等于第項的2-1倍，推出關(guān)系式，通過=2，3，4，5求出此數(shù)列的前5項；
（2）通過（1）歸納出數(shù)列{}的通項公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．第一步驗證=1成立；第二步，假設(shè)=猜想成立，然后證明=時猜想也成立.
解：（1）由已知= ， =（2-1），分別取=2，3，4，5，得，，
，，
所以數(shù)列的前5項是：，，， ，.
（2）由（1）中的分析可以猜想（∈N*）．        
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)=1時，猜想顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)=（≥1且∈N*）時猜想成立，即 ．
那么由已知，得，
即．所以，
即，又由歸納假設(shè)，得，
所以，即當(dāng)時，猜想也成立.
綜上①和②知，對一切∈N*，都有成立．