Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)為，平面內(nèi)兩點(diǎn)、同時(shí)滿足：①++=；②||=||=||；③∥．

（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，直線與點(diǎn)的軌跡相交弦分別為，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為．求四邊形的面積的最小值；

Answer 1

【答案】(1) ;(2)當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．

【解析】

（1）由++=可得P為△ABC的重心，設(shè)A（x，y），則P（），再由||=||=||，知Q是△ABC的外心，Q在x軸上，再由∥，可得Q（），結(jié)合||=||求得頂點(diǎn)A的軌跡E的方程；

（2）F（，0）恰為的右焦點(diǎn)．當(dāng)直線l1，l2的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l1 的方程為my=x﹣．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A、B的縱坐標(biāo)得到和與積，根據(jù)焦半徑公式得|A1B1|、|A2B2|，代入四邊形面積公式再由基本不等式求得四邊形A1A2B1B2的面積S的最小值.

（1）∵，由①知，∴為的重心，設(shè)，則，由②知是的外心，∴在軸上由③知，由，得，化簡整理得：．

（2）解：恰為的右焦點(diǎn)，

①當(dāng)直線的斜率存且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由，

設(shè)則，

①根據(jù)焦半徑公式得，

又，

所以，同理，

則，

當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．