Question

（12分） 已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
（I）求，的值；
（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？
若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解:(I）設(shè)，直線，由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
則，解得.又.
（II）由(I）知橢圓的方程為.設(shè)、
由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè)
代入橢圓的方程中整理得，顯然。
由韋達(dá)定理有：．．．．．．．．①
.假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：
點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，即。
整理得。
又在橢圓上，即.
故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
將及①代入②解得
,=,即.
當(dāng);
當(dāng).

略