Question

如圖，已知、、為不在同一直線上的三點，且，.

（1）求證：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求證：平面；
（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析：（3）.

試題分析：（1）通過證明平行四邊形分別證明和，利用直線與平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面與平面平行的判定定理證明平面平面；（2）證法1是先證明平面，于是得到，由再由四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法2是建立以以點為原點，分別以、、所在的直線為、、軸的空間直角坐標系，利用空間向量法來證明平面；（3）在（2）的基礎上利用空間向量法求出二面角的余弦值.
試題解析：（1）證明：且，四邊形是平行四邊形，，
面，面平面，
同理可得平面，又，平面平面；
（2）證法1：平面，平面，平面平面，
平面平面，
，，，，，平面，
，，，
又，得為正方形，，
又，平面；
證法2：，，，，，
平面，，平面，
以點為原點，分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系如圖示，由已知可、、、、、，
則，，，
，，，，
又，平面.

（3）由（2）得，，
設平面的法向量，則由，得，
令得，
由（2）知是平面的法向量，，
即二面角的余弦值為.
（其它解法請參照給分）