Question

如圖,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.

（Ⅰ）求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;
（Ⅱ）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

Answer 1

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題以正三角形為幾何背景，考查四點(diǎn)共圓問(wèn)題以及相似三角形問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力.第一問(wèn)，利用已知條件中邊的比例關(guān)系可得出結(jié)論，再利用三角形相似，得出，所以，所以可證四點(diǎn)共圓；第二問(wèn)，根據(jù)所給正三角形的邊長(zhǎng)為2，利用已知的比例關(guān)系，得出各個(gè)小邊的長(zhǎng)度，從而得出為正三角形，所以得出，所以是所在圓的圓心，而是半徑，即為.
試題解析：(Ⅰ)證明:∵,   ∴,
∵在正中, , ∴,
又∵,, ∴, ∴,
即,所以四點(diǎn)共圓.               5分
(Ⅱ)解:如圖,

取的中點(diǎn),連接,則,
∵, ∴,
∵,, ∴為正三角形,
∴,即,
所以點(diǎn)是外接圓的圓心,且圓的半徑為.
由于四點(diǎn)共圓,即四點(diǎn)共圓,其半徑為.           10分
考點(diǎn)：1.四點(diǎn)共圓的證明；2.三角形相似；3.三角形的外接圓.