Question

如圖，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線(xiàn)l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點(diǎn)，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證：

（1）l是⊙O的切線(xiàn)；
（2）PB平分∠ABD.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）連結(jié)OP,通過(guò)證明OP//BD得OP⊥l.，從而l是⊙O的切線(xiàn)；（2）連結(jié)AP，由（1）知l是⊙O的切線(xiàn)所以∠BPD=∠BAP，又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.

試題解析：（1）連結(jié)OP，
因?yàn)锳C⊥l，BD⊥l，     所以AC//BD.
又OA=OB，PC=PD，    所以O(shè)P//BD，從而OP⊥l.
因?yàn)镻在⊙O上，     所以l是⊙O的切線(xiàn). ...........5分
（2）連結(jié)AP，
因?yàn)閘是⊙O的切線(xiàn)，     所以∠BPD=∠BAP. 
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.    .........10分
考點(diǎn)：圓的切線(xiàn)、幾何證明選講.