Question

【題目】在如圖的空間幾何體中，是等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，為中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)為，連接和，可得面面，進(jìn)而可得結(jié)論；

（Ⅱ）法一，利用幾何法求線面角；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算求線面角.

法一：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)為，連接和，

有，面，

有，面，

，面面.

面，平面；

（Ⅱ）四邊形為梯形，，為中點(diǎn)，

，即四邊形為平行四邊形，

.

要求與平面所成角，只需求與平面所成角，

連接，，

由題意可知，，，

面，

面面，

點(diǎn)到面的距離就是點(diǎn)到的距離.

，

面，，

，

，又，，

點(diǎn)到的距離為.

在三棱錐中，，

根據(jù)，.

記點(diǎn)到面的距離為，

由，得.

所以與平面所成角的正弦為.

法二：以為軸，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)點(diǎn)

由題意可得：

由

設(shè)平面法向量為，

，

即：，

故與平面所成角的正弦值為.