【題目】為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對位顧客進(jìn)行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有
個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出
個球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
(1)若袋中所裝的個球中有
個所標(biāo)的面值為
元,其余
個均為
元,求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是元,并規(guī)定袋中的
個球只能由標(biāo)有面值為
元和
元的兩種球組成,或標(biāo)有面值
元和
元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.請對袋中的
個球的面值給出一個合適的設(shè)計,并說明理由.
【答案】(1)(ⅰ);(ⅱ)40;(2)選擇方案(20,20,40,40).
【解析】
試題(1)(ⅰ)摸出2個球共有種方法,由題意得摸出2個球中一個為面值為50元,另一個為10元的,所以有
種方法,所求概率為
;(ⅱ)先確定隨機(jī)變量取法:20,60.再分別求對應(yīng)概率,列表得分布列,最后根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望(2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個顧客的平均獎勵額為60元,所以數(shù)學(xué)期望為60元.因此只能有兩個方案:(10,10,50,50),(20,20,40,40),這兩個方案的數(shù)學(xué)期望皆為60,為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,即方差要盡可能小,計算兩者方差得選擇方案(20,20,40,40).
試題解析:(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X,
(ⅰ)依題意,得P(X=60)==
,
即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為.
(ⅱ)依題意,得X的所有可能取值為20,60.
P(X=60)=,P(X=20)==
,
即X的分布列為
X | 20 | 60 |
P |
所以顧客所獲的獎勵額的期望為
E(X)=20×+60×
=40(元).
(2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個顧客的平均獎勵額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?/span>60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?/span>60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.
對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.
以下是對兩個方案的
對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1,則X1的分布列為
X1 | 20 | 60 | 100 |
P |
X1的期望為E(X1)=20×+60×
+100×
=60,
X1的方差為D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×
+(100-60)2×
=
.
對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2,則X2的分布列為
X2 | 40 | 60 | 80 |
P |
X2的期望為E(X2)=40×+60×
+80×
=60,
X2的方差為D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×
+(80-60)2×
=
.
由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求,但方案2獎勵額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知對任意的實(shí)數(shù)
,
都有:
,且當(dāng)
時,有
.
(1)求;
(2)求證:在
上為增函數(shù);
(3)若,且關(guān)于
的不等式
對任意的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓
:
(
)與拋物線
:
的一個公共點(diǎn),且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點(diǎn)
.
(Ⅰ)求橢圓及拋物線
的方程;
(Ⅱ)設(shè)過且互相垂直的兩動直線
,
與橢圓
交于
兩點(diǎn),
與拋物線
交于
兩點(diǎn),求四邊形
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超強(qiáng)臺風(fēng)登陸海南省.據(jù)統(tǒng)計,本次臺風(fēng)造成全省直接經(jīng)濟(jì)損失119.52億元,適逢暑假,小明調(diào)查住在自己小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,作出如下頻率分布直方圖:
經(jīng)濟(jì)損失4000元以下 | 經(jīng)濟(jì)損失4000元以上 | 合計 | |
捐款超過500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合計 |
臺風(fēng)后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如上表,在表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?
附:臨界值表
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6635 | 7.879 | 10.828 | |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
參考公式: ,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)(簡稱:)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù),空氣質(zhì)量按照
大小分為六級:
為優(yōu),
為良,
為輕度污染,
為中度污染,
為重度污染,
為嚴(yán)重污染.下面記錄了北京市
天的空氣質(zhì)量指數(shù),根據(jù)圖表,下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 在北京這天的空氣質(zhì)量中,按平均數(shù)來考察,最后
天的空氣質(zhì)量優(yōu)于最前面
天的空氣質(zhì)量 B. 在北京這
天的空氣質(zhì)量中,有
天達(dá)到污染程度
C. 在北京這天的空氣質(zhì)量中,12月29日空氣質(zhì)量最好 D. 在北京這
天的空氣質(zhì)量中,達(dá)到空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)有
天
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商第一年購買某工廠商品的單價為(單位:元),在下一年購買時,購買單價與其上年度銷售額(單位:萬元)相聯(lián)系,銷售額越多,得到的優(yōu)惠力度越大,具體情況如下表:
上一年度 銷售額/萬元 | ||||||
商品單價/元 |
為了研究該商品購買單價的情況,為此調(diào)查并整理了個經(jīng)銷商一年的銷售額,得到下面的柱狀圖.
已知某經(jīng)銷商下一年購買該商品的單價為(單位:元),且以經(jīng)銷商在各段銷售額的頻率作為概率.
(1)求的平均估計值.
(2)為了鼓勵經(jīng)銷商提高銷售額,計劃確定一個合理的年度銷售額(單位:萬元),年銷售額超過
的可以獲得紅包獎勵,該工廠希望使
的經(jīng)銷商獲得紅包,估計
的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=3,AB=4,AC=CC1=5,M,N分別是A1B,B1C1的中點(diǎn).
(1)求證:MN//平面ACC1A1;
(2)求點(diǎn)N到平面MBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (
為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值和最小值.
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