Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）是否存在非負整數(shù)，使得函數(shù)是單調函數(shù)，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）已知，若存在，使得當時，的最小值是，求實數(shù)的取值范圍.（注：自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，的值是0，1，2；（3）

【解析】

（1）當時求出函數(shù)的導數(shù)，計算及，利用點斜式，即可求出切線方程。

（2）求出函數(shù)的導數(shù)，要使函數(shù)是單調函數(shù)即是使或恒成立，對分類討論，即可求出非負整數(shù)的值。

（3）通過討論的范圍，根據函數(shù)的單調性求出的最小值，從而確定實數(shù)的取值范圍。

解：（1）的定義域為.

當時，，.∴.

所以，函數(shù)在處的切線方程為

即

（2）∵，∴，.

當時，.∴是單調減函數(shù).符合

當時，若是單調增函數(shù)，則，

即恒成立，這不可能；

若是單調減函數(shù)，則，

即恒成立，令，其開口方向向上，對稱軸方程為

，，故，∴

又，.

綜上，滿足條件的非負整數(shù)的值是0，1，2

（3）∵

∴

∴

①當0時，.

當時，，在上為減函數(shù)；

當時，，在上為增函數(shù).

所以當時，，不符合題意.

②當時，.

（i）當，即時，當變化時，，的變化情況如下：

				1
	－	0	+	0	－
	↘	極小值	↗	極大值	↘

若滿足題意，只需滿足，整理得.

令，

當時，，

所以在上為增函數(shù)，

所以，當時，.

可見，當時，恒成立，故當，時，函數(shù)的最小值為.；所以滿足題意.

（ⅱ）當，即時，，，0，當且僅當時取等號.

所以在上為減函數(shù).從而在上為減函數(shù).符合題意.

（ⅲ）當，即時，當變化時，，的變化情況如下表：

		1
	－	0	+	0	－
	↘	極小值0	↗	極大值	↘

若滿足題意，只需滿足，且（若，不符合題意），

即，且.

又，∴.

綜上，.

所以實數(shù)的取值范圍是.