Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0 ， 且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ， 求證：x1+2x0=0；
（3）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值不小于 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若f（x）=x3﹣ax﹣b，則f′（x）=3x2﹣a，

分兩種情況討論：

①、當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，

此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），

②、當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=- 或x= ，

當(dāng)x＞ 或x＜﹣ 時(shí)，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）為增函數(shù)，

當(dāng)﹣ ＜x＜ 時(shí)，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）為減函數(shù)，

故f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），減區(qū)間為（﹣ ， ）

（2）

解：若f（x）存在極值點(diǎn)x0，則必有a＞0，且x0≠0，

由題意可得，f′（x）=3x2﹣a，則x02= ，

進(jìn)而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b，

又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0），

由題意及（Ⅰ）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)x1，滿足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，

則有x1=﹣2x0，故有x1+2x0=0；

（3）

解：設(shè)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y兩個(gè)數(shù)的最大值，

下面分三種情況討論：

①當(dāng)a≥3時(shí)，﹣ ≤﹣1＜1≤ ，

由（I）知f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，

所以f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的取值范圍是[f（1），f（﹣1）]，

因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}

=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}= ，

所以M=a﹣1+|b|≥2

②當(dāng) a＜3時(shí)， ，

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥ =f（ ），f（1）≤ = ，

所以f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的取值范圍是[f（ ），f（﹣ ）]，

因此M=max{|f（ ）|，|f（﹣ ）|}=max{| |，| |}

=max{| |，| |}= ，

③當(dāng)0＜a＜ 時(shí)， ，

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜ =f（ ），f（1）＞ = ，

所以f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的取值范圍是[f（﹣1），f（1）]，

因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}

=max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞ ，

綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值不小于

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0時(shí)f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）由條件判斷出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0 ， 分別代入解析式化簡f（x0），f（﹣2x0），化簡整理后可得證；
（3）設(shè)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值M，根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系對a分三種情況討論，運(yùn)用f（x）單調(diào)性和前兩問的結(jié)論，求出g（x）在區(qū)間上的取值范圍，利用a的范圍化簡整理后求出M，再利用不等式的性質(zhì)證明結(jié)論成立．
本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，不等式的證明，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查分析法在證明中的應(yīng)用，以及化簡整理、運(yùn)算能力，屬于難題．