Question

已知，其中是自然常數(shù)，

   （1）若為的極值點(diǎn), 求的單調(diào)區(qū)間和最小值；        

   （2）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

   （3），在（1）的條件下，求證：．

Answer 1

（1）， 

若則_{；若，則}

∴∴的最小值 ；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，

使（）有最小值3，

 

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)無最小值．

②時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，，滿足條件．

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，（舍去），所以，此時(shí)無最小值．

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3．

       （3）的極小值為1，即在上的最小值為1，

       ∴ ，……5分

       令，，

       當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增 

       ∴ 

       ∴在（1）的條件下，