Question

(本小題滿分16分)

已知，其中是自然常數(shù)，

 (1)討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；

 (2)求證：在（1）的條件下，；

 (3)是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）的極小值為；

（2），當(dāng)時(shí)，；

（3） 。

【解析】(I)當(dāng)a=1時(shí),f(x)的解析式確定,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值即可.

(2)在(1)條件下,可確定出的最小值,然后再利用導(dǎo)數(shù)研究的最大值即可.只需證明即可.

(3)先假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，,

然后求出f(x)的導(dǎo)數(shù),利用其導(dǎo)數(shù)研究其最小值,根據(jù)最小值等于3,求a,看a值是否存在.

（1）    ------------2分

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞增

的極小值為--------------------------4分

（2）的極小值，即在的最小值為1

    令

又    ------------------------6分

當(dāng)時(shí)

在上單調(diào)遞減

 ---------------7分

當(dāng)時(shí)，------------------------------8分

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，

①當(dāng)時(shí)，由于，則

函數(shù)是上的增函數(shù)

解得（舍去） ---------------------------------12分

②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，

此時(shí)是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)

解得 ---------------------------------16分