Question

已知，其中是自然常數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí), 研究的單調(diào)性與極值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證： ；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極小值為；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314201994905803/SYS201301131421152615230357_DA.files/image004.png">，，那么求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到單調(diào)性的求解。

（2） 的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，，構(gòu)造函數(shù)令，確定出最大值。比較大小得到。

解：（Ⅰ），   ……2分

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增   …………4分 

∴的極小值為                         ……6分

（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，……5分

令，，  …………8分

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增  ………9分

∴     ………11分

∴在（1）的條件下，……………………………12分

考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)單調(diào)性，和導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)的左右符號(hào)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)極值，進(jìn)而求解最值。