Question

設(shè)p：

m-2

m-3

≤

2

3

，q：關(guān)于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得p∨q為真命題，p∧q為假命題．

Answer 1

分析：通過解分式不等式求得命題p為真時(shí)m的范圍；根據(jù)一元二次不等式解集為空集的條件求得命題q為真時(shí)m的范圍，再根據(jù)復(fù)合命題真值表知，
若p∨q真，p∧q假，則命題p、q一真一假，分別求出當(dāng)p真q假時(shí)和當(dāng)p假q真時(shí)m的范圍，再求并集．

解答：解：

m-2

m-3

≤

2

3

得0≤m＜3，故命題p為真時(shí)，0≤m＜3；
由不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，得△=16-4m²＜0⇒m＜-2或m＞2．
由復(fù)合命題真值表知，若p∨q真，p∧q假，則命題p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，即

0≤m＜3 -2≤m≤2

⇒0≤m≤2．
當(dāng)p假q真時(shí)，即

m≥3或m＜0 m＜-2或m＞2

⇒m＜-2或m≥3．
綜上得，m∈（-∞，-2）∪[0，2]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評：本題借助考查復(fù)合命題的真假判定，考查了分式不等式的解法及一元二次不等式的解集，解題的關(guān)鍵是求得簡單命題為真時(shí)的條件．