Question

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線方程為，求， 的值；

（Ⅱ）若， 求函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出的導(dǎo)數(shù)，由， ，可解得；（Ⅱ）先確定函數(shù)至少一個零點(diǎn)，在分五種情況討論: ， ， ， , ,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值與極值，結(jié)合函數(shù)圖象可得各種情況下函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù).

試題解析：（Ⅰ） 的導(dǎo)數(shù)為， ，

，解得

（Ⅱ），易得有一個零點(diǎn)為

令，

（1）若，則，無零點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個零點(diǎn)；

（2）若，則

①若，則所以單調(diào)遞增，而， ，

所以有一個零點(diǎn)，所以有兩個零點(diǎn)；

②若，由，知， ，所以在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增；所以函數(shù)的最小值為

（ⅰ）當(dāng)即時， ，所以無零點(diǎn)，

所以函數(shù)只有一個零點(diǎn)

（ⅱ）當(dāng)時，即，所以有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)

（ⅲ）當(dāng)時，即時， ，所以有兩個零點(diǎn)，所以函數(shù)有三個零點(diǎn)

綜上，當(dāng)或時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)

（利用函數(shù)圖像的交點(diǎn)個數(shù)討論酌情給分）