Question

【題目】已知， 是的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有極小值 ,無(wú)極大值；（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(Ⅰ)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論可得當(dāng)時(shí)， 無(wú)極值；當(dāng)， 時(shí)，有極小值.

(Ⅱ)結(jié)合題意構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）， ， ，

當(dāng)時(shí)， 恒成立， 無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)， ，解得，

由，得；由，得，

所以當(dāng)時(shí)，有極小值.

（Ⅱ）令，則，注意到，

解法一： ，

①當(dāng)時(shí)，由，得，即在上單調(diào)遞增，

所以時(shí)， ，從而在上單調(diào)遞增，

所以時(shí)， ，即恒成立.

②當(dāng)時(shí)，由解得，即在上單調(diào)遞減，

所以時(shí)， ，從而在上單調(diào)遞減，

所以時(shí)， ，即不成立.

綜上， 的取值范圍為.

解法二：令，則，由，得； ，得，

∴，即恒成立，

故，

當(dāng)時(shí)， ，于是時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，

所以，即成立.

當(dāng)時(shí)，由可得.

，

故當(dāng)時(shí)， ，

于是當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減， ， 不成立.

綜上， 的取值范圍為.