Question

（2013•泗陽縣模擬）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ） 當a≥0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-2bx+4．當a=

1

4

時，
（i）若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)b取值范圍．
（ii） 對于任意x₁，x₂∈（1，2]都有|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)的意義域為R⁺，由已知中的函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，分a=0，a=

1

2

，0＜a＜

1

2

，

1

2

＜a＜1，a≥1五種情況分別討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）（i）由（I）的結(jié)論，我們可得當a=

1

4

時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，則f（x₁）≥g（x₂），可轉(zhuǎn)化為f(x1)≥f(1)=-

1

2

≥f（x₂），由g（x）=x²-2bx+4，我們易由函數(shù)恒成立問題的處理方法，求出滿足條件的實數(shù)b取值范圍．
（ii） 由（I）中結(jié)論函數(shù)f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，函數(shù)y=

1

x

在（1，2]是減函數(shù)，則|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|等價于f(x2)-f(x1)≤λ(

1

x1

-

1

x2

)，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)+

λ

x

，可得函數(shù)h（x）是減函數(shù)，根據(jù)h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可構(gòu)造關(guān)于λ的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
因為f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

，
所以當a=0時，f′(x)=

x-1

x2

，令f′(x)=

x-1

x2

＞0得x＞1，
所以此時函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）是減函數(shù)；-----------------------------（2分）
當a=

1

2

時，f′(x)=

-x2+2x+a-1

2x2

=

-(x-1)2

2x2

≤0，所以此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)；
當0＜a＜

1

2

時，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得1＜x＜

1

a

-1，
此時函數(shù)f（x）在(1，

1

a

-1)是增函數(shù)，在(0，1)和(

1

a

-1，+∞)上是減函數(shù)；----------------------------------------------（4分）
當

1

2

＜a＜1，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得

1

a

-1＜x＜1，
此時函數(shù)f（x）在(

1

a

-1，1)是增函數(shù)，在(0，

1

a

-1)和(1，+∞)上是減函數(shù)；-----------------------------------------（6分）
當a≥1，由于

1

a

-1≤0，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得0＜x＜1，
此時函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．--------------------------------------------（8分）
（Ⅱ） （i）當a=

1

4

時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意x₁∈（0，2），
有f(x1)≥f(1)=-

1

2

，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g(x2)，x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g(x)=x2-2bx+4≤-

1

2

，即2bx≥x2+

9

2

，即2b≥x+

9 2

x

∈[

17

4

，

11

2

]，
所以2b≥

17

4

，解得b≥

17

8

，即實數(shù)b取值范圍是[

17

8

，+∞)．--------------------（12分）
（ii）不妨設(shè)1＜x₁≤x₂≤2，由函數(shù)f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，函數(shù)y=

1

x

在（1，2]是減函數(shù)，
∴|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|等價于f(x2)-f(x1)≤λ(

1

x1

-

1

x2

)，
所以f(x2)+λ

1

x2

≤f(x1)+λ

1

x1

設(shè)h(x)=f(x)+

λ

x

=lnx-

1

4

x+

3

4x

+

λ

x

是減函數(shù)，
所以h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，即

3

4

+λ≥x-

1

4

x2=-

1

4

(x-2)2+1，解得λ≥

1

4

．---------（16分）

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，其中（1）的關(guān)鍵是對a值進行分類討論，而（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)+

λ

x

，進而根據(jù)函數(shù)h（x）是減函數(shù)，則h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，構(gòu)造關(guān)于λ的不等式．