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        1. (2013•泗陽縣模擬)某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠,擬在2010年度將進行系列促銷活動.經(jīng)市場調(diào)查和測算,該紀(jì)念品的年銷售量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例.若不搞促銷活動,紀(jì)念品的年銷售量只有1萬件.已知工廠2010年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬元,每生產(chǎn)1萬件紀(jì)念品另外需要投資32萬元.當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價定為:“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時,則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等.(利潤=收入-生產(chǎn)成本-促銷費用)
          (1)求出x與t所滿足的關(guān)系式;
          (2)請把該工廠2010年的年利潤y萬元表示成促銷費t萬元的函數(shù);
          (3)試問:當(dāng)2010年的促銷費投入多少萬元時,該工廠的年利潤最大?
          分析:(1)根據(jù)題意,3-x與t+1成反比例,列出關(guān)系式,然后根據(jù)當(dāng)t=0時,x=1,求出k的值
          (2)通過x表示出年利潤y,并化簡,代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù).
          (3)根據(jù)已知代入(2)的函數(shù),分別進行化簡即可求出最值,即促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大.
          解答:解  (1)設(shè)比例系數(shù)為k(k≠0).由題知,有3-x=
          k
          t+1
          .…(2分)
          又t=0時,x=1.∴3-1=
          k
          0+1
          ,k=2
          .…(4分)∴x與t的關(guān)系是x=3-
          2
          t+1
          (t≥0)
          .…(5分)
          (2)依據(jù)題意,可知工廠生產(chǎn)x萬件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為(3+32x)萬元,促銷費用為t萬元,則每件紀(jì)念品的定價為:(
          3+32x
          x
          •150%+
          t
          2x
          )元/件.…(8分)
          于是,y=x•(
          3+32x
          x
          •150%+
          t
          2x
          )-(3+32x)-t
          ,進一步化簡,得y=
          99
          2
          -
          32
          t+1
          -
          t
          2
          (t≥0)
          .…(11分)
          因此,工廠2010年的年利潤y=
          99
          2
          -
          32
          t+1
          -
          t
          2
          (t≥0)
          萬元.
          (3)由(2)知,y=
          99
          2
          -
          32
          t+1
          -
          t
          2
          (t≥0)

          =50-(
          32
          t+1
          +
          t+1
          2
          )
          ≤50-2
          32
          t+1
          t+1
          2
          =42(當(dāng)
          t+1
          2
          =
          32
          t+1
          ,即t=7時,等號成立)
          …(15分)
          所以,當(dāng)2010年的促銷費用投入7萬元時,工廠的年利潤最大,最大利潤為42萬元.…(16分)
          點評:本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,強調(diào)對知識的理解和熟練運用,屬于中檔題.
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          π
          3
           , 
          π
          3
          ]
          上是減函數(shù),則實數(shù)ω的取值范圍是
          -
          3
          2
          ≤ω<0
          -
          3
          2
          ≤ω<0

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