Question

閱讀下列材料：

問題：如圖1，在□ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，∠EAB=60°，過點E作直線

EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG.

求證：EG =AG+BG.

小明同學的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于點H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使

問題得到解決.

參考小明同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）完成上面問題中的證明；

（2）如果將原問題中的“∠EAB=60°”改為“∠EAB=90°”，原問題中的其它條件不變（如圖2），請?zhí)骄烤�段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖1 圖2

 

Answer 1

（1）證明見解析

（2）EG=AG﹣BG；證明見解析

【解析】

試題分析：（1）作∠GAH=∠EAB交GE于點H，則∠GAB=∠HAE，先根據(jù)ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH=∠EAB=60°可知△AGH是等邊三角形，故可得出結(jié)論；

（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延長線于點H，先根據(jù)ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG=EH，AG=AH，根據(jù)∠GAH=∠EAB=90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以AG=HG，由此可得出結(jié)論．

試題解析：（1）如圖1，作∠GAH=∠EAB交GE于點H，則∠GAB=∠HAE．

∵∠EAB=∠EGB，∠GAB=∠HAE，

∴∠ABG=∠AEH．

∵又∵AB=AE，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等邊三角形．

∴AG=HG．

∴EG=AG+BG；

（2）線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系是EG=AG﹣BG．

理由如下：

如圖2，作∠GAH=∠EAB交GE的延長線于點H，則∠GAB=∠HAE．

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．

∴∠ABG=∠AEH．

又∵AB=AE，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形．

∴AG=HG，

∴EG=AG﹣BG．

考點：1、全等三角形的判定與性質(zhì)；2、直角三角形的性質(zhì)；3、勾股定理