Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，AE=m，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE．延長(zhǎng)BG交直線CD于點(diǎn)F．

（1）若∠ABE：∠BFC=n，則n=；
（2）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，求線段GF的長(zhǎng)；
（3）若限定F僅在線段CD上（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）1：2
（2）解：當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，AE=DE= ，

由折疊得，DE=GE，∠EGF=∠D=90°，BG=AB=1，

根據(jù)DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF=GF，

設(shè)DF=GF=x，則CF=1﹣x，

∵在Rt△BCF中，BC2+FC2=BF2，

∴12+（1﹣x）2=（1+x）2，

解得x= ，

∴線段GF的長(zhǎng)為 ；

（3）解：若限定F僅在線段CD上（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則

①如圖，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，AE=EG=GF=m，F(xiàn)E=1﹣m，

在Rt△EFG中，m2+m2=（1﹣x）2，

解得m=﹣ ﹣1（舍去），m= ﹣1；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，此時(shí)AE=AD=1，

∴m=1．

綜上，m的取值范圍是： ﹣1≤m≤1．

【解析】 解：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
由折疊得，∠ABF=2∠ABE，
∴∠BFC=2∠ABE，
∴∠ABE：∠BFC=1：2，
∴n=1：2，
故答案為：1：2；
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABF=∠BFC，根據(jù)折疊可得∠ABF=2∠ABE，由此得出n的值即可；（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)，判定Rt△EDF≌Rt△EGF，再設(shè)DF=GF=x，在Rt△BCF中運(yùn)用勾股定理求得x的值即可；（3）若限定F僅在線段CD上（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，進(jìn)而求得m的取值范圍．