Question

如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE（不需證明）．

（溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質(zhì)，可證得∠BME=∠CNE．）

問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷△OMN的形狀，并說明理由；

問題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并并說明理由．

 

 

Answer 1

(1) △OMN為等腰三角形，理由見解析；（2）△AGD是直角三角形，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）作出兩條中位線，根據(jù)中位線定理，找到相等的同位角和線段，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．

（2）利用平行線和中位線定理，可以證得三角形△FAG是等邊三角形，再進(jìn)一步確定∠FGD=∠FDG=30°，進(jìn)而求出∠AGD=90°，故△AGD的形狀可證．

試題解析：：（1）取AC中點(diǎn)P，連接PF，PE，

可知PE=，

PE∥AB，

∴∠PEF=∠ANF，

同理PF=，

PF∥CD，

∴∠PFE=∠CME，

又PE=PF，

∴∠PFE=∠PEF，

∴∠OMN=∠ONM，

∴△OMN為等腰三角形．

（2）判斷出△AGD是直角三角形．

證明：如圖連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，

∵F是AD的中點(diǎn)，

∴HF∥AB，HF=AB，

同理，HE∥CD，HE=CD，

∵AB=CD

∴HF=HE，

∵∠EFC=60°，

∴∠HEF=60°，

∴∠HEF=∠HFE=60°，

∴△EHF是等邊三角形，

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，

∴△AGF是等邊三角形．

∵AF=FD，

∴GF=FD，

∴∠FGD=∠FDG=30°

∴∠AGD=90°

即△AGD是直角三角形．

考點(diǎn)：1．三角形中位線定理；2．角平分線的性質(zhì)；3．等腰三角形的判定；4．勾股定理的逆定理．