Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且過點(diǎn)，平行四邊形的頂點(diǎn)在此拋物線上，與軸相交于點(diǎn).己知點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積是的面積的2倍？若存在，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，若，試建立關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的運(yùn)動(dòng)范圍；

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1；M（0，2）；（2）存在，Q（2，4）或（-2，4）；（3）t=，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)范圍為x軸上（，0）及其左側(cè)的部分

【解析】

（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），且過點(diǎn)（-2，2），故設(shè)其解析式為y=ax2+1，則利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式，又由四邊形OABC是平行四邊形，則可求得點(diǎn)A與M的坐標(biāo)；

（2）設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，可得S△BCM=BMOM=2，則又由S△ABQ=2S△BCM=AB×h，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）作QH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，即可證得△PQH∽△CMO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得x與t的關(guān)系式，求出t的取值范圍，從而確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)范圍.

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），且過點(diǎn)（-2，2），
故設(shè)其解析式為y=ax2+1，
則有：2=（-2）2×a+1，
得a=，
∴此拋物線的解析式為：y=x2+1，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB=OC=4，AB∥OC，
又∵y軸是拋物線的對(duì)稱軸，
∴點(diǎn)A與B是拋物線上關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
則MA=MB=2，
即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，
則其縱坐標(biāo)y=×22+1=2，
即點(diǎn)A（2，2），
故點(diǎn)M（0，2）；

（2）設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，
∵S△BCM=BMOM=2，
∴S△ABQ=2S△BCM=AB×h=4，
∴h=2，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，代入y=x2+1，
得x=±2，
∴存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（2，4），（-2/span>，4）；

（3）作QH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．
則∠QHP=∠MOC=90°，
∵PQ∥CM，
∴∠QPH=∠MCO，
∴△PQH∽△CMO，
∴，

即，

而y=x2+1，

∴，

∴t=，

∴t的取值范圍是：t≤，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)范圍為x軸上（，0）及其左側(cè)的部分.