Question

【題目】已知：拋物線(xiàn)y＝x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m

（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)該拋物線(xiàn)與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，與y軸交于點(diǎn)C，且滿(mǎn)足，求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式；

（3）在（2）的條件下，是否存在著直線(xiàn)y＝kx+b與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P、Q，使y軸平分△CPQ的面積？若存在，求出k，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）y＝x2﹣2x﹣3；（3）存在，當(dāng)k＝﹣2且b＞﹣3時(shí)直線(xiàn)y＝kx+b與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，Q使y軸平分△CPQ的面積．

【解析】

（1）將m＝2代入拋物線(xiàn)解析式中，并且配方得出y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可得出結(jié)論；

（2）先表示出AO＝﹣x1，OB＝x2，CO＝m+1＞0，再用 ，建立方程化簡(jiǎn)得出（m+1）（x1+x2）＝﹣2x1x2，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝﹣（1+m），即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為xQ，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)E，利用面積相等得出|xP|＝|xQ|，即xP＝﹣xQ，再由，得出x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0，進(jìn)而得出xP+xQ＝k+2＝0，即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)m＝2時(shí)，得出y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；

（2）∵x1＜0＜x2，

∴AO＝﹣x1，OB＝x2，

又∵a＝1＞0，

∴CO＝m+1＞0，

∴m＞﹣1，

∵，

∴CO（OB﹣AO）＝2AOOB，

即（m+1）（x1+x2）＝﹣2x1x2

對(duì)于拋物線(xiàn)y＝x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m，

令y＝0，則0＝x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m，

∵x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝﹣（1+m），

∴（m+1）2（m﹣1）＝2（1+m），

解得m＝﹣1（舍去），m＝2．

∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．

（3）存在著直線(xiàn)y＝kx+b與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P、Q，使y軸平分△CPQ的面積，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為xQ，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)E，

∵S△PCE＝S△QCE，CE|xP|＝CE|xQ|，

∴|xP|＝|xQ|，

∵y軸平分△CPQ的面積，

∴點(diǎn)P、Q在y軸異側(cè)，

即xP＝﹣xQ，

由，

得x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0

而xP，xQ為x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0的兩根，

∴xP+xQ＝k+2＝0，

∴k＝﹣2，

又∵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b+3＞0，即b＞﹣3，

∴當(dāng)k＝﹣2且b＞﹣3時(shí)直線(xiàn)y＝kx+b與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，Q使y軸平分△CPQ的面積.