Question

【題目】已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+（a＞0，b＜0）的圖象與x軸只有一個公共點A．

（1）當a＝時，求點A的坐標；

（2）求A點的坐標（只含b的代數(shù)式來表示）；

（3）過點A的直線y＝x+k與二次函數(shù)的圖象相交于另一點B，當b≥﹣1時，求點B的橫坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）;（2）（﹣，0）;（3）m≥3．

【解析】

（1）由二次函數(shù)y=ax2+bx+（a＞0，b＜0）的圖象與x軸只有一個公共點A，推出△=b2-4a×=b2-2a=0，再根據(jù)a=，代入求出b即可；
（2）令y=0，求出x的值即可得出A點坐標；

（3）構建方程組求出點B的橫坐標，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題；

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+（a＞0，b＜0）的圖象與x軸只有一個公共點，

∴b2﹣4a×＝0，

即：b2＝2a，

當a＝時，b2＝1，

又∵b＜0，

∴b＝﹣1，

∴二次函數(shù)的關系式為：y＝x2﹣x+，

當y＝0時，x2﹣x+＝0，解得：x1＝x2＝1，

∴點A（1，0），

（2）∵b2＝2a，（a＞0，b＜0），

∴b＝﹣

當y=0時，ax2+bx+＝0，

∴x＝＝＝﹣，

∴點A的坐標為（﹣，0）；

（3）將點A的坐標代入y＝x+k得，k＝：

由，解得：x1＝﹣，x2＝，

∵點A的坐標為（﹣，0）；

∴點B的橫坐標m＝，

∴m＝＝2（）＝2（）2﹣，

∵2＞0，

∴當b＜時，m隨的增大而減小，

∵﹣1≤b＜0，

∴≤﹣1，

∴m≥2×（﹣1﹣）2﹣＝3，

即m≥3．