Question

【題目】如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點．
（1）若BK= KC，求 的值；
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當AE= AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當AE= AD（n＞2），而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BK= KC，

∴ = ，

又∵CD∥AB，

∴△KCD∽△KBA，

∴ = =

（2）解：當BE平分∠ABC，AE= AD時，AB=BC+CD；

證明：取BD的中點為F，連接EF交BC于G點，

由中位線定理，得EF∥AB∥CD，

∴G為BC的中點，∠GEB=∠EBA，

又∵∠EBA=∠GBE，

∴∠GEB=∠GBE，

∴EG=BG= BC，而GF= CD，EF= AB，

∵EF=EG+GF，

即： AB= BC+ CD；

∴AB=BC+CD；

同理，當AE= AD（n＞2）時，EF∥AB，

同理可得： = ，則BG= BC，則EG=BG= BC，

= = ，則GF= CD，

= = ，

∴ + CD= AB，

∴BC+CD=（n﹣1）AB，

故當AE= AD（n＞2）時，BC+CD=（n﹣1）AB．

【解析】（1）由已知得 = ，由CD∥AB可證△KCD∽△KBA，利用 = 求值；（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位線，由中位線定理得EF∥AB∥CD，可知G為BC的中點，由平行線及角平分線性質(zhì)，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，則EG=BG= BC，而GF= CD，EF= AB，利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系；當AE= AD（n＞2）時，EG=BG= BC，而GF= CD，EF= AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．
【考點精析】掌握角平分線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．