Question

如果a、b、c為互不相等的實數，且滿足關系式b²+c²=2a²+16a+14與bc=a²-4a-5，那么a的取值范圍是______．

Answer 1

∵b²+c²=2a²+16a+14，bc=a²-4a-5，
∴（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²-4a-5）=4a²+8a+4=4（a+1）²，
即有b+c=±2（a+1）．
又bc=a²-4a-5，
所以b，c可作為一元二次方程x²±2（a+1）x+a²-4a-5=0③的兩個不相等實數根，
故△=4（a+1）²-4（a²-4a-5）=24a+24＞0，
解得a＞-1．
若當a=b時，那么a也是方程③的解，
∴a²±2（a+1）a+a²-4a-5=0，
即4a²-2a-5=0或-6a-5=0，
解得，a=

1± 21

4

或a=-

5

6

．
所以a的取值范圍為a＞-1且a≠-

5

6

且a≠

1± 21

4

．