Question

（2004•呼和浩特）如果a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式b²+c²=2a²+16a+14與bc=a²-4a-5，那么a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)b，c關(guān)系就可以得到含有a的不等式，b²+c²＞0即2a²+16a+14＞0；bc≤，則2a²+16a+14≥2（a²-4a-5），解這兩個(gè)關(guān)于a的不等式組成的不等式組就可以求出a的范圍．
解答：解：∵b²+c²=2a²+16a+14，bc=a²-4a-5，
∴（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²-4a-5）=4a²+8a+4=4（a+1）²，
即有b+c=±2（a+1）．
又bc=a²-4a-5，
所以b，c可作為一元二次方程x²±2（a+1）x+a²-4a-5=0③的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
故△=4（a+1）²-4（a²-4a-5）=24a+24＞0，
解得a＞-1．
若當(dāng)a=b時(shí)，那么a也是方程③的解，
∴a²±2（a+1）a+a²-4a-5=0，
即4a²-2a-5=0或-6a-5=0，
解得，a=或a=-．
所以a的取值范圍為a＞-1且a≠-且a≠．
點(diǎn)評(píng)：本題主要利用了不等式的性質(zhì)：（b-c）²≥0，可得到b²+c²≥2bc．通過b，c的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為含a的不等式是解決本題的關(guān)鍵．