Question

19．如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB為邊向四邊形外作Rt△ABE，使得∠BAE=90°，AB=mAE．F為線段AD上一點，AF=nFD．過點F作直線MN⊥BC于點G，過點E作EH⊥MN于點H．
（1）①請先用直尺和圓規(guī)在圖2中補全m=1，n=1時的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）；
②再猜想并驗證CD、EH和AD的關(guān)系．
（2）在圖1中，猜想并驗證m≠1時，線段CD、EH和AD的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①作線段AD的垂直平分線FH，作AE⊥AB，使得AE=AB，作EH⊥FH即可．
②結(jié)論：EH-$\frac{1}{2}$AD=CD．首先證明△AEM≌△BAN，推出EM=AN，再證明四邊形ANCD是矩形，四邊形AFHM是矩形，推出AN=CD，AF=FD=HM即可解決問題．
（2）如圖2中，結(jié)論：CD=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD）．作AN⊥BC于N交EH于M，易知四邊形ANCD，四邊形AMFH是矩形．只要證明△AEM∽△BAN，推出$\frac{AN}{EM}$=$\frac{AB}{AE}$=m，推出AN=mEM，推出CD=mEM=m（EH-AF）=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD），由此即可解決問題．

解答 解：（1）①m=1，n=1時的圖形如圖所示．

②結(jié)論：EH-$\frac{1}{2}$AD=CD．
理由：作AN⊥BC于N交EH于M．
∵EH⊥HF，AD⊥FH，
∴EH∥AD∥CB，
∵AN⊥CB，
∴MN⊥EH，
∴∠EAB=∠EMA=∠ANB=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠BAN=90°，
∴∠AEM=∠BAN，
在△AEM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠ANB}\\{∠AEM=∠BAN}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BAN，
∴EM=AN，
∵∠C=∠D=∠ANC=90°，
∴四邊形ANCD是矩形，同理可證四邊形AFHM是矩形，
∴EM=AN=CD，HM=AF，
∴EH-$\frac{1}{2}$AD=EH-AF=EH-MH=EM=AN=CD，
∴EH-$\frac{1}{2}$AD=CD．

（2）如圖2中，結(jié)論：CD=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD）．
理由：作AN⊥BC于N交EH于M，則四邊形ANCD，四邊形AMFH是矩形．

∵AF=nDF，
∵AF=$\frac{n}{n+1}$AD，
∵∠AEM=∠BAN，∠AME=∠ANB=90°，
∴△AEM∽△BAN，
∴$\frac{AN}{EM}$=$\frac{AB}{AE}$=m，
∴AN=mEM，
∵AF=MH，AN=CD，
∴CD=mEM=m（EH-AF）=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD），
∴CD=m（EH-$\frac{n}{n+1}$AD）．

點評 本題考查相似三角形綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．