Question

已知：三點(diǎn)A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上．
（1）求a的值；
（2）點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△OAP與△CBP周長的和取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A（a，1）在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上，即可得方程

1

2

a=1，則可求得a的值；
（2）首先由題意可得當(dāng)AP+BP最小時(shí)，△OAP與△CBP周長的和取得最小值，然后過點(diǎn)A作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，再設(shè)直線A′B的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得其解析式，繼而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（a，1）在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上，
∴

1

2

a=1，
解得：a=2；

（2）如圖：∵A（2，1）、B（3，1）、C（6，0），
∴OA，BC是定長，
∵OP+PC=OC=6，
∵△OAP與△CBP周長的和為：OA+AP+OP+PC+BC+BP=OA+BC+OC+AP+BP，
∴當(dāng)AP+BP最小時(shí)，△OAP與△CBP周長的和取得最小值，
過點(diǎn)A作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
∴A′（2，-1），
設(shè)直線A′B的解析式為：y=kx+b，
∴

2k+b=-1 3k+b=1

，
解得：

k=2 b=-5

，
∴直線A′B的解析式為：y=2x-5，
當(dāng)y=0時(shí)，2x-5=0，
解得：x=

5

2

；
∴當(dāng)△OAP與△CBP周長的和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

5

2

，0）．

點(diǎn)評：此題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式、點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系以及最短路徑問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．