Question

19．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，AB=AD+BC．求證：BE⊥AE．

Answer 1

分析 由題意，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，由AD∥BC，得∠DAE=∠CFE，然后，通過(guò)證明△ADE≌△CFE，由AB=BC+AD=BC+FC=BF得出△ABF為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一，即可證得．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，

∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
∠ECF=∠EDA
∵點(diǎn)E是CD的邊中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∴△ECF≌△EDA（AAS），
∴AD=FC，AE=FE
∵AB=BC+AD，BF=BC+FC
∴AB=BF
即三角形ABF為等腰三角形，又AE=FE
故由等腰三角形三線合一得AF⊥BE
∴BE⊥AE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．