Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE=CF，AD+EC=AB．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)；

（3）直接寫出當(dāng)∠A為多少度時(shí)，△DEF是等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）∠DEF＝70°；（3）∠A＝60°

【解析】

（1）通過(guò)全等三角形的判定定理SAS證得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”推知DE＝EF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）由等腰△ABC的性質(zhì)求得∠B＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推知∠BDE+∠DEB＝110°；再結(jié)合△DBE≌△ECF的對(duì)應(yīng)角相等：∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠DEB＝110°，易求∠DEF＝70°；

（3）由（2）知，∠DEF＝∠B，于是得到∠B＝60°，推出△ABC是等邊三角形，于是得到結(jié)論．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AD+EC＝AB，AD+BD＝AB，

∴BD＝EC，

在△DBE和△ECF中

，

∴△DBE≌△ECF（SAS）

∴DE＝EF

∴DEF是等腰三角形．

（2）∵∠A＝40°，∠B＝∠C，

∴∠B＝∠C＝70°，

∴∠BDE+∠DEB＝110°．

∵△DBE≌△ECF．

∴∠FEC＝∠BDE，

∴∠FEC+∠DEB＝110°，

∴∠DEF＝70°，

（3）當(dāng)∠A為60°時(shí)，△DEF是等邊三角形，

理由：由（2）知，∠DEF＝∠B，

∵∠DEF＝60°，

∴∠B＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝60°

∴∠B＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝60°